Trong bài viết này tôi sẽ cùng các bạn tìm hiểu về các thuật toán tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên và minh họa code bằng ngôn ngữ C/C++.
Định nghĩa ước chung lớn nhất
Ước chung lớn nhất (GCD – Greatest Common Divisor) của 2 số nguyên a và b là số nguyên lớn nhất d thỏa mãn tính chất cả a và b đều chia hết cho d.
NỘI DUNG BÀI VIẾT
Các thuật toán tìm ước chung lớn nhất
Dưới đây là một số cách thường được sử dụng để giải quyết bài toán tìm ước chung lớn nhất của hai số.
Cách 1. Tìm UCLN sử dụng phép trừ
Đây là sơ đồ của thuật toán này
Code minh họa
0123456789101112131415161718 // Code from hushpage.com int gcd(int a, int b){ // Nếu a = 0 => ucln(a,b) = b // Nếu b = 0 => ucln(a,b) = a if (a == 0 || b == 0){ return a + b; } while (a != b){ if (a > b){ a -= b; // a = a – b }else{ b -= a; } } return a; // return a or b, bởi vì lúc này a và b bằng nhau}
Giải thích:
0123456789 Tại mỗi bước lặp nó sẽ kiểm tra giá trị hiện tại của a và b xem thằng nào lớn hơn. Ví dụ với hai số a = 7, b = 5 L1: a > b => a = 2, b = 5L2: b > a => a = 2, b = 3L3: b > a => a = 2, b = 1L4: a > b => a = 1, b = 1L5: a == b => trả về a hoặc b đều được => KQ là 1
Xem thêm: Các chia sẻ hay được đúc kết từ kinh nghiệm của tác giả
Cách 2. Tìm UCLN sử dụng phép chia dư
Sơ đồ thuật toán tương tự như cách 1. Chỉ thay đổi phép trừ sang phép chia dư.
Code minh họa
01234567891011121314 // Code from hushpage.com int gcd(int a, int b){ // Lặp tới khi 1 trong 2 số bằng 0 while (a*b != 0){ if (a > b){ a %= b; // a = a % b }else{ b %= a; } } return a + b; // return a + b, bởi vì lúc này hoặc a hoặc b đã bằng 0.}
Cách 3. Tìm UCLN sử dụng giải thuật Euclid
Cho a, b là hai số nguyên (giả sử a ≥ b), để tìm ước chung lớn nhất của hai số a và b ta cần thực hiện chia a cho b được thương q và số dư r (r ≥ 0) tức là a = b*q + r, khi đó ta có:
Cài đặt thuật toán sử dụng đệ quy.
01234567 // Code from hushpage.com int gcd(int a, int b) { if (b == 0) return a; return gcd(b, a % b);}
Cài đặt khử đệ quy
0123456789101112 // Code from hushpage.com int gcd(int a, int b) { int tmp; while(b != 0) { tmp = a % b; a = b; b = tmp; } return a;}
Gợi ý: Một số bài viết về giải thuật tương tự
Cách 4. Tìm UCLN sử dụng hàm có sẵn của C++
Để có thể sử dùng hàm tìm ucln trong C++ ta cần thêm thư viện algorithm.
Ví dụ minh họa:
012345678 // Code from hushpage.com#include <algorithm>#include <stdio.h>int main(){ int a = 5, b = 9; printf(“ngcd(%d, %d) = %d”, a, b, std::__gcd(a,b));}
Tổng kết tất cả cách cách trên trong 1 chương trình.
012345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061 // Code from hushpage.com #include <stdio.h>#include <algorithm>int gcd1(int a, int b){ // Nếu a = 0 => ucln(a,b) = b // Nếu b = 0 => ucln(a,b) = a if (a == 0 || b == 0){ return a + b; } while (a != b){ if (a > b){ a -= b; // a = a – b }else{ b -= a; } } return a; // return a or b, bởi vì lúc này a và b bằng nhau} int gcd2(int a, int b){ // Nếu a = 0 => ucln(a,b) = b // Nếu b = 0 => ucln(a,b) = a if (a == 0 || b == 0){ return a + b; } // Lặp tới khi 1 trong 2 số bằng 0 while (a*b != 0){ if (a > b){ a %= b; // a = a % b }else{ b %= a; } } return a + b; // return a + b, bởi vì lúc này hoặc a hoặc b đã bằng 0.} int gcd3(int a, int b) { if (b == 0) return a; return gcd3(b, a % b);} int gcd4(int a, int b) { int tmp; while(b != 0) { tmp = a % b; a = b; b = tmp; } return a;} int main(){ int a = 5, b = 9; printf(“ngcd1(%d, %d) = %d”, a, b, gcd1(a,b)); printf(“ngcd2(%d, %d) = %d”, a, b, gcd2(a,b)); printf(“ngcd3(%d, %d) = %d”, a, b, gcd3(a,b)); printf(“ngcd4(%d, %d) = %d”, a, b, gcd4(a,b)); printf(“ngcd5(%d, %d) = %d”, a, b, std::__gcd(a,b));}
Kết quả chạy thử
0123456 gcd1(5, 9) = 1gcd2(5, 9) = 1gcd3(5, 9) = 1gcd4(5, 9) = 1gcd5(5, 9) = 1
Trên đây tôi đã trình bày chi tiết về các thuật toán tìm ước chung lớn nhất của hai số. Nếu bạn đọc quan tâm hay có thắc mắc gì. Vui lòng để lại ở bình luận phía cuối bài viết.
Nếu bạn quan tâm đến tìm BCNN của 2 số, vui lòng chuyển qua bài viết tìm BCNN của 2 số nhé.